DNS設定を変更出来る場合は可能です。
MXレコードを変更せずに、Webサーバーのみ新しいサーバーに向けて設定して下さい。
カラフルボックスで管理しているドメインのDNS設定方法につきましては、下記リンクをご参照下さい。DNSの管理方法はこちら

他社で管理しているドメインの場合は、他社のDNS設定画面にてご設定下さい。誠に申し訳ございませんが、サポート対象外となりますので、お客様の自己責任においてご設定下さい。